---

Conceito e notação

Na Matemática, nós utilizamos o termo “conjunto” para nos referirmos a agrupamentos de… coisas! Essas “coisas” são chamadas de elementos. Assim, já podemos construir nossa primeira definição:

Um conjunto é um agrupamento de elementos.

Genérico assim! Podemos criar, por exemplo, um conjunto composto por uma árvore e um carro. Ou um conjunto composto pelos planetas do sistema solar. Ou um conjunto composto pelas as letras do nosso alfabeto.

Uma prática comum na Matemática é criarmos formas enxutas para nos referirmos aos objetos de estudo. Assim, há uma forma de representarmos um conjunto: utilizamos chaves, os símbolos “$\{$” e “$\}$”. Tudo que colocarmos entre as chaves, separado por vírgulas, representa os elementos do conjunto. Além disso, nós também podemos dar nomes aos conjuntos. Normalmente, um conjunto é denominado por uma letra maiúscula.

Certo, muita informação de uma vez. Vamos rever o que foi dito. Criaremos um conjunto denominado por $A$ e que é composto pelos elementos $1$, $2$ e $3$. Utilizemos a notação mencionada no parágrafo anterior:

$$A = \{1, 2, 3\}$$

Observe o par de chaves, a separação dos elementos por vírgulas e a forma de nomear o conjunto: “$A = \dots$”

Quando representamos um conjunto assim, a ordem dos elementos não importa. Tomemos o conjunto $A$ como exemplo para explicar o porquê. Quando escrevemos “$A = \{1, 2, 3\}$”, estamos sintetizando as seguintes informações:

• O elemento $1$ compõe o conjunto A
• O elemento $2$ compõe o conjunto A
• O elemento $3$ compõe o conjunto A

A ordem que elencamos tais afirmações não muda a composição do conjunto $A$. Além disso, de nada adianta repetir uma daquelas afirmações. Portanto, elementos repetidos na representação de um conjunto contam apenas uma vez. Resumindo:

$$A = \{1, 2, 3\} = \{2, 3, 1\} = \{2, 2, 3, 1\}$$

Também é possivel compreender isto se pensarmos no conceito básico de um conjunto: um agrupamento de elementos. Logo, se criarmos um grupo de pessoas, não importa a ordem que as mencionamos nem se mencionamos alguém mais de uma vez.

Um conjunto pode ter qualquer quantidade de elementos, desde nenhum até infinitos! Quando um conjunto é formado apenas por um elemento, ele é chamado de conjunto unitário. Este tipo de conjunto é mais fácil de perceber e compreender, como por exemplo $\{1\}$ e $\{10\}$. Por outro lado, um conjunto que requer mais atenção e costuma confundir mais pessoas é o conjunto sem elementos. Suponhamos um conjunto $B$ sem elementos:

$$B = \{\}$$

Dizemos que, se um conjunto não tem elementos, ele é um conjunto vazio. Uma outra forma de representarmos um conjunto vazio é com o símbolo $\emptyset$. Portanto podemos escrever:

$$B = \emptyset$$

Vale ressaltar que o conjunto vazio pode sim ser elemento de outro conjunto. Suponhamos, por exemplo, o conjunto $C$, definido como:

$$C = \{\emptyset, A\}$$

$C$ é um conjunto com dois elementos: o conjunto vazio e o conjunto $A$.

Conjuntos como elementos de outros conjuntos

Como dizíamos, um conjunto pode ser composto por qualquer tipo de elemento, inclusive por outros conjuntos. Isso mesmo, um conjunto pode ser elemento de outro conjunto. Por exemplo, considere um conjunto denominado por $Q$ e composto pelos dois elementos a seguir:

• Um conjunto composto pelos números $1$ e $2$
• Um conjunto composto pelos números $4$ e $5$

Representemos então o conjunto $Q$:

$$Q = \textbf{\{} \hspace{0.2cm} \{1, 2\} \hspace{0.2cm}\textbf{,} \hspace{0.2cm} \{4, 5\} \hspace{0.2cm}\textbf{\}}$$

Vamos entender o que está escrito acima. O conjunto $Q$ é formado por dois elementos: o conjunto $\{1, 2\}$ e o conjunto $\{4, 5\}$. Note que estes elementos estão separados por uma vírgula (em negrito) e encapsulados pelo par de chaves mais externo (também em negrito), de acordo com a forma que combinamos para representar um conjunto.

Temos também a liberdade de deixarmos a representação de $Q$ mais limpa, e podemos fazer isso definindo os seus dois elementos como conjuntos à parte:

$$R = \{1, 2\}$$ $$S = \{4, 5\}$$

Agora podemos dizer que $R$ e $S$ são elementos de $Q$:

$$Q = \{R, S\}$$

Beleza, mas por que precisamos lidar com esse nível de detalhe? Esta pergunta tem no mínimo duas respostas. A primeira é que Matemática é um exercício intelectual que requer atenção aos detalhes, pois são pequenas lacunas na compreensão que, acumuladas, ocasionam grandes dificuldades no futuro! A segunda resposta é que nós utilizaremos o que já foi estudado até agora para conhecermos a relação de pertinência.

---

Relação de pertinência

Logo no início do capítulo, dissemos que um conjunto é composto por elementos. Se um elemento compõe um conjunto, dizemos que tal elemento pertence ao conjunto. Para dizer que um elemento pertence a um conjunto, utilizamos o símbolo $\in$. Por exemplo:

$$\begin{eqnarray} 1 & \in & A & \hspace{1cm}(A = \{1, 2, 3\})\\ 2 & \in & R & \hspace{1cm}(R = \{1, 2\})\\ \emptyset & \in & C & \hspace{1cm}(C = \{\emptyset, A\})\\ S & \in & Q & \hspace{1cm}(Q = \{R, S\}) \end{eqnarray}$$

Similarmente, dizemos que se um elemento não compõe um conjunto, então tal elemento não pertence ao conjunto. Tal relação pode ser expressa pelo símbolo $\notin$, como em:

$$\begin{eqnarray} 10 & \notin & A &\\ 0 & \notin & B & \hspace{1cm}(B = \{\})\\ B & \notin & R & \hspace{1cm}(R = \{1, 2\}) \end{eqnarray}$$

Atenção! Aqui se esconde um perigo. Muito embora $2 \in R$ e $R \in Q$, não podemos afirmar que $2$ pertence a $Q$! De fato, note que $2$ não é um elemento de $Q$:

$$Q = \{R, S\}$$

Vejamos mais exemplos de relações de pertinência:

$$\begin{eqnarray} 8 & \in & \{7, 8, 9\}\\ \{8\} & \notin & \{7, 8, 9\}\\ \{8\} & \in & \{7, \{8\}, 9\}\\ 8 & \notin & \{7, \{8\}, 9\} \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} \{8, 9\} & \notin & \{7, 8, 9, 10\}\\ \{8, 9\} & \in & \{7, \{8, 9\}, 10\}\\ 8 & \notin & \{7, \{8, 9\}, 10\}\\ 9 & \notin & \{7, \{8, 9\}, 10\} \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} \{7, 8, 9\} & \notin & \{7, 8, 9, 10\}\\ \{7, 8, 9\} & \in & \{\{7, 8, 9\}, 10\}\\ 9 & \notin & \{\{7, 8, 9\}, 10\}\\ 9 & \in & \{7, 8, 9, 10\}\\ \{8, 9\} & \notin & \{\{7, 8, 9\}, 10\}\\ 10 & \in & \{\{7, 8, 9\}, 10\} \end{eqnarray}$$

A relação de pertinência é o tijolo fundamental para que entendamos a relação de inclusão.

---

Relação de inclusão

A relação de inclusão entre dois conjuntos nos diz se um deles é composto pelos elementos do outro ou não. Para entendermos melhor, vamos supor os dois conjuntos a seguir:

$$E = \{30, 40\}$$ $$F = \{20, 30, 40\}$$

Podemos observar que todos os elementos de $E$ pertencem ao conjunto $F$, portanto dizemos que $E$ está contido em $F$, ou ainda que $E$ é um subconjunto de $F$. Representamos esta relação da seguinte forma:

$$E \subset F$$

Além disso, dizemos que $F$ contém $E$:

$$F \supset E$$

Notamos também que um dos elementos de $F$, $20$, não pertence a $E$. Dizemos então que $F$ não está contido em $E$ e representamos tal relação da seguinte forma:

$$F \not\subset E$$

E dizemos também que $E$ não contém $F$ em:

$$E \not\supset F$$

Abaixo temos alguns exemplos de relações de inclusão:

$$\begin{eqnarray} \{8\} & \subset & \{7, 8, 9\}\\ \{7, 8, 9\} & \supset & \{8\} \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} \{8, 9\} & \subset & \{7, 8, 9\}\\ \{7, 8, 9\} & \supset & \{8, 9\} \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} \{8, 9, 10\} & \not\subset & \{7, 8, 9\}\\ \{7, 8, 9\} & \not\supset & \{8, 9, 10\} \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} \{8\} & \not\subset & \{7, \{8\}, 9\}\\ \{7, \{8\}, 9\} & \not\supset & \{8\} \end{eqnarray}$$

Primeiramente, repare que $8$ é diferente de $\{8\}$. Além disso, note que $\{8\}$ pertence ao conjunto $\{7, \textbf{\{8\}}, 9\}$, mas pelo fato de $8$ não ser elemento do conjunto $\{7, \{8\}, 9\}$, dizemos que $\{8\}$ não está contido em $\{7, \{8\}, 9\}$.

$$\begin{eqnarray} \{8\} & \not\supset & \{7, \{8\}, 9\}\\ \{7, \{8\}, 9\} & \not\subset & \{8\} \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} \{\{8\}\} & \subset & \{7, \{8\}, 9\}\\ \{7, \{8\}, 9\} & \supset & \{\{8\}\} \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} \{\{8\}, 9\} & \subset & \{7, \{8\}, 9\}\\ \{7, \{8\}, 9\} & \supset & \{\{8\}, 9\} \end{eqnarray}$$

Importante: Como dito no início da seção, uma relação de inclusão só pode ser estabelecida entre dois conjuntos, seja ela $\subset$, $\supset$, $\not\subset$ ou $\not\supset$. Ou seja, não faz sentido dizer que $1 \not\subset \{50, 55\}$.

---

Exercícios

Questão 1

Indique quais símbolos podem preencher as lacunas a seguir. Os símbolos possíveis são: $\in$, $\notin$, $\subset$, $\supset$, $\not\subset$ e $\not\supset$. O primeiro ítem já está respondido.

a. $\{1, 2\} \hspace{0.2cm} \underline{} \hspace{0.2cm} \{1, 2, 3, \{1, 2\}\}$

Vamos verificar se o símbolo $\in$ é adequado para preencher a lacuna. Para tal, precisamos encontrar o que está à esquerda da lacuna dentre os elementos do conjunto à direita. Os elementos do conjunto da direita são: $1$, $2$, $3$ e $\textbf{\{1, 2\}}$. Pronto, $\{1, 2\}$ é um elemento do conjunto à direita da lacuna e, portanto, o símbolo $\in$ é válido.

Quanto ao símbolo $\notin$, já sabemos que não é válido pois verificamos que o símbolo $\in$ se aplica. Um elemento não pode pertencer e não pertencer a um conjunto simultaneamente, logo $\in$ e $\notin$ são mutuamente exclusivos.

Verifiquemos agora se o símbolo $\subset$ é adequado. Queremos saber se $\{1, 2\}$ está contido em $\{1, 2, 3, \{1, 2\}\}$. Relembrando a definição, para que isto seja verdade, cada elemento de $\{1, 2\}$ deve pertencer ao conjunto $\{1, 2, 3, \{1, 2\}\}$. Avaliando os elementos de $\{1, 2\}$, percebemos que tanto $1$ quanto $2$ pertencem a $\{\textbf{1, 2}, 3, \{1, 2\}\}$. Logo, o símbolo $\subset$ é adequado.

Agora já suspeitamos que o símbolo $\not\subset$ é inválido, pois seu oposto ($\subset$) é válido. Mas vamos entender o porquê. Como vimos na definição, para que o símbolo $\not\subset$ seja válido, precisa existir um elemento no conjunto da esquerda que não pertence ao conjunto da direita. No entanto, ambos os elementos de $\{1, 2\}$ pertencem a $\{\textbf{1, 2}, 3, \{1, 2\}\}$. Logo, o símbolo $\not\subset$ não é adequado para este ítem.

Para sabermos se o símbolo $\supset$ é adequado, precisamos verificar se todos os elementos de $\{1, 2, 3, \{1, 2\}\}$ (conjunto à direita da lacuna) são também elementos de $\{1, 2\}$ (conjunto à esquerda da lacuna). Logo vemos que isto não é verdade pois tanto o elemento $3$ quanto o elemento $\{1, 2\}$ (elementos do conjunto da direita) não são elementos do conjunto da esquerda, cujos elementos são $1$ e $2$. Logo, o símbolo $\supset$ não é adequado.

Por fim, queremos saber se o símbolo $\not\supset$ é adequado para preencher a lacuna. Precisamos então encontrar um elemento do conjunto da direita que não pertence ao conjunto da esquerda. Ora, no parágrafo anterior já constatamos que tanto o $3$ quanto o $\{1, 2\}$ (elementos do conjunto da direita) não pertencem ao conjunto da esquerda. Logo, o símbolo $\not\supset$ é sim adequado!

Concluindo, os símbolos adequados são: $\in$, $\subset$ e $\not\supset$.

b. $5 \hspace{0.2cm} \underline{} \hspace{0.2cm} \{\{4, 5\}, \{5, 6\}\}$

c. $\{5\} \hspace{0.2cm} \underline{} \hspace{0.2cm} \{\{4, 5\}, \{5, 6\}\}$

d. $\{2, 3, \emptyset\} \hspace{0.2cm} \underline{} \hspace{0.2cm} \emptyset$

e. $\{3\} \hspace{0.2cm} \underline{} \hspace{0.2cm} \{3, \{\{3\}\}\}$

Questão 2

Explique porque as seguintes afirmativas são verdadeiras:

• O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
• Qualquer conjunto é subconjunto de si próprio.
• Apenas o conjunto vazio é subconjunto do conjunto vazio.
• Se $X \subset Y$ e $X \supset Y$, então $X$ e $Y$ são compostos pelos mesmos elementos.